F15 Deriveringsregler

Sats

Om $f^{(}x)$ existerar så är $f$ kontinuerlig.

d.v.s. Deriverbarhet $\Rightarrow$ Kontinuitet

Bevis

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(x+h)-f(x)}{h}$

vi vill visa
$\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)=f(x)$
eller $\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)-f(x)=0$

$\underset{h\to 0}{\lim }(f(x+h)-f(x))=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}h$
$=f^{\prime }(x)\ast 0=0$

Det omvända gäller inte.

ex. $f(x)=|x|$ är kontinuerlig $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$
$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ -1& x<0\end{array}$
$f$ är inte deriverbar i $x=0$

Bevis

Från vänster:
$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h-0}{h}=-1$

Från höger:
$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h-0}{h}=1$

Derivatan existerar inte i $x=0$ eftersom höger och vänstergränsvärdena är olika.

Sats

Derivering är en linjär operator

1. $\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
2. $\frac{d}{dx}(f(x)-g(x))=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$
3. $\frac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f^{\prime }(x),c\in \mathbb{R}$

Sats (Produktregeln)

Antag att $f$ och $g$ är deriverbara funktioner i $x$, då är produkten $f\ast g$ deriverbar och $\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$.

Bevis

$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
$g^{\prime }(x+h)$ går mot $g(x)$ ty $g$ är deriverbar. $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ v.s.v.

Sats (Reciprocitetsregeln)

$\frac{d}{dx}\frac{1}{f(x)}=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$

Bevis

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(x+h)}{hf(x+h)f(x)}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{1}{f(x+h)f(x)}\ast \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$f(x+h)$ går mot $f(x)$
$=\frac{-1}{(f(x){)}^2}\ast f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$

Sats (Kvotregeln)

Om $f$ och $g$ är deriverbara i $x$ och $g(x)\ne 0$, så är även $\frac{f}{g}$ deriverbar och $\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

Bevis

$\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{d}{dx}(f(x)\ast \frac{1}{g(x)})$
produktregeln ger $=f^{\prime }(x)\frac{1}{g(x)}+f(x)\frac{d}{dx}(\frac{1}{g(x)})$
$=f^{\prime }(x)\frac{1}{g(x)}-f(x)\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)}{(g(x){)}^2}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$
$=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$ v.s.v.

Exempel

Visa att $\frac{d}{dx}(x^{-n})=-n{x}^{-n-1}$

Använd $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$
$\frac{d}{dx}(x^{-n})=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x^n})=-\frac{\frac{d}{dx}(x^n)}{(x^n{)}^2}=-\frac{n{x}^{n-1}}{x^{2n}}$
$=-n{x}^{n-1}\ast x^{-2n}=-n{x}^{(n-1)-2n}=-n{x}^{-n-1}$ v.s.v.

Derivera $y=\sqrt{f(x)}$ där $f(x)$ är deriverbar

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{f(x+h)}-\sqrt{f(x)}}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ast \frac{1}{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}}$
$\sqrt{f(x+h)}$ går mot $\sqrt{f(x)}$
$=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$

Antag att $f$ är deriverbat. Bestäm derivatan av $(f(x){)}^2$ och $f(x^2)$

$\frac{d}{dx}(f(x){)}^2=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h){)}^2-(f(x){)}^2}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)-f(x))(f(x+h)+f(x))}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)-f(x))}{h}(f(x+h)+f(x))$
$=f^{\prime }(x)\cdot 2f(x)$

$\frac{d}{dx}f(x^2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f((x+h{)}^2)-f(x^2)}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x^2+2hx+h^2)-f(x^2)}{h}$
$u=x^2$, $k=2hx+h^2$, $k\to 0$ då $h\to 0$ $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(u+h)-f(u)}{k}\ast \frac{k}{h}$
$=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2hx+h^2}{h}$
$=f^{\prime }(u)\cdot 2x=2x{f}^{\prime }(x^2)$