3.1 Ekvationer

Absolutbelopp

Exempel

I. För vilka x gäller $|x-2|\le 6$

$x-2\ge 0:|x-2|=x-2$
$x\ge 2$
$x-2\le 6$
$x\le 8$

$(x-2)<0:|x-2|=2-x$
$x<2$
$2-x\le 6$
$2\le 6+x$
$-4\le x$
$x\ge -4$

hela:
$-4\le x\le 8$

Cirkelns ekvation

$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=r^2$
$r=$ radien
$(x_1,y_1)=$ punkt för centrum av cirkeln

ex.

Beskriv alla punkter i planet på avstånd $d=2$ från punkten $p=(1,2)$
$d=2=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2}$
$d^2=4=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$

Sneda linjens ekvation

$y=kx+m$
$m=$ skärning y
$k=$ lutning
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ellips

$\frac{(x-x_1{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_1{)}^2}{b^2}=1$

Hyperbel

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$

Parabel

$y=a(x-x_1{)}^2+y_1$

Generell förskutning

Om $y=f(x)$ Så är grafen till $y=f(x-c)+b$ skiftad åt höger sträckan $c$ och uppåt med sträckan $b$.

Funktion

En funktion på en mängd $D$ till en mängd $S$ är en regel som tilldelar ett unikt element $f(x)$ i $S$ till varje $x$ i $D$.

$R(x)\subset S$ (värdemängd)

Exempel

Bestäm funktionens största deffinitionsmängd. $f(x)=\frac{1}{x}$ svar: $x\ne 0$ $D(f)=\mathbb{R}\setminus 0=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$

Jämna och udda funktioner

Antag att $-x\in D(f)$ om $x\in D(f)$

1. $f$ är en jämn funktion om $f(-x)=f(x)$ (ex $f(x)=x^2$)
2. $f$ är en udda funktion om $f(-x)=-f(x)$ (ex $f(x)=x^3$)

Exempel

$f(x)=x^2+3$
$f(-x)=(-x{)}^2+3=f(x)$ (jämn)

$g(x)=f(x-2)=(x-2{)}^2+3$
$g(-x)=(-x-2{)}^2+3=(-1{)}^2(x+2{)}^2+3=(x+2{)}^2+3\ne g(x)\ne -g(x)$ (varken jämn eller udda)

$f(x)=x^3$ (udda)

$g(x)=f(x-a)+b$ $g$ varken udda eller jämn om $a\ne 0$ eller $b\ne 0$

Sammansättning av funktioner

Definition

Om $f$ och $g$ är två funktioner så är sammansättningen $f\circ g$ definerad som $(f\circ g)x=f(g(x))$.

Definitionsmängden för $f\circ g$ är de $x$ i $D(g)$ så att $g(x)\in D(f)$.

Övning

$f(x)=x^2$
$g(x)=\sqrt{4+x}$
Största möjliga definitionsmängd och värdemängd för:
a. $f$

$D(f)=\mathbb{R},(-\infty ,\infty ),-\infty <x<\infty$
$R(f)=[0,\infty ),f(x)\ge 0$

b. $g$

$D(g)=[-4,\infty ),x\ge -4$
$R(g)=[0,\infty ),g(x)\ge 0$

c. $f\circ g$

$f\circ g=f(g(x))=(\sqrt{4+x}{)}^2$
$=4+x$
$D(f\circ g)=[-4,\infty ),-4\le x<\infty$
$R(f\circ g)=[0,\infty ),0\le f(g(x))<\infty$

d. $g\circ f$

$g\circ f=g(f(x))=\sqrt{4+x^2}$
$D(g\circ f)=\mathbb{R},(-\infty ,\infty ),-\infty <x<\infty$
$R(g\circ f)=[2,\infty ),g(f(x))\ge 2$

e. $f\circ f$

$f\circ f=f(f(x))=(x^2{)}^2=x^4$
$D(f\circ f)=\mathbb{R},(-\infty ,\infty ),-\infty <x<\infty$
$R(f\circ f)=[0,\infty ),f(f(x))\ge 0$

g. $g\circ g$

$g\circ g=g(g(x))=\sqrt{4+\sqrt{4+x}}$
$D(g\circ g)=[-4,\infty ),x\ge -4$
$R(g\circ g)=[2,\infty ),g(x)\ge 2$

Styckvis definierade funktioner

ex:

$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{mbox}omx\ge 0\\ -x,& \text{mbox}omx<0\end{array}$