F16 Kedjeregeln

Sats (Kedjeregeln)

Om $f(h)$ är deriverbar i $u=g(x)$ och $g(x)$ är deriverbar i $x$, så är den sammansatta funktionen $(f\circ g)x=f(g(x))$ deriverbar i $x$.

$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Alternativa formuleringar

Om $y=f(u)$ och $u=g(x)$ så är $y=f(g(x))$ och derivatan $y^{\prime }=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$ eller $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Bevis

$g(x)$ deriverbar $\Rightarrow g$ är kontinuerlig

$\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)=g(x)$
eller
$\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)-g(x)=0$

låt

$k=g(x+h)-g(x)$
$u=g(x)$

$g(x+h)=u+k$

$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(u+k)-f(u)}{h}$
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(u+k)-f(u)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
$=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
$=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Exempel

Beräkna $y^{\prime }$ om $y=(2x+3{)}^6$

$y=f(u)=u^6$
$u=g(x)=2x+3$

$f^{\prime }(u)=6u^5$
$g^{\prime }(x)=2$

$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)=6u^{5}2=12(2x+3{)}^5$

Derivera $y=\sqrt{1-3x^2}$

$y=f(u)=\sqrt{u}$, $f^{\prime }(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$u=g(x)=1-3x^2$, $g^{\prime }(x)=-6x$

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-6x)$
$=\frac{1}{2\sqrt{1-3x^2}}\cdot (-6x)$

Antag att $y=f(g(h(x)))$ vad är $y^{\prime }$ ?

$y^{\prime }=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Beräkna $y^{\prime }$ om $y=\frac{1}{2+\sqrt{3x+4}}$

$y=f(u)=\frac{1}{u}$, $f^{\prime }(u)=-\frac{1}{u^2}$
$u=g(v)=2+\sqrt{v}$, $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{v}}$
$v=h(x)=3x+4$, $h^{\prime }(x)=3$

$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(v)\cdot h^{\prime }(x)$
$=-\frac{1}{u^2}\cdot \frac{1}{2+\sqrt{v}}\cdot 3$
$=-\frac{3}{(2+\sqrt{3x+4}{)}^2\cdot 2\sqrt{3x+4}}$

Beräkna $\frac{d}{dx}(|x|),x\ne 0$ (utnyttja $|x|=\sqrt{x^2}$)

$\frac{d}{dx}(|x|)=\frac{d}{dx}\sqrt{x^2}$
$y=f(u)=\sqrt{u}$, $f^{\prime }(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$
$u=g(x)=x^2$, $g^{\prime }(x)=2x$
$y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x$
$=\frac{x}{|x|}=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{x}=1& x>0\\ \frac{x}{-x}=-1& x<0\end{array}=sgn(x)$