H2

Föreläsning 2 (PDF) F2 - notes (PDF)

Skjuvbelastning

Vinkelrät kraft

Skjuvtöjning

Vid skjuvbelastning får deformationen genom en vinkeländring

• $u$, förskjutning $[\text{mm}]$
• $H$, höjd $[\text{mm}]$
• $\phi$, skjuvvinkel $[\text{rad}]$
• $\gamma$, skjuvtöjning $[-]$

Skjuvsamband

$\phi =\tan \left(\frac{u}{H}\right)$

$\gamma =\frac{u}{H}$

För små $\phi$:

$\gamma =\phi$

Hookes lag för skjuvtöjning

$\tau =G\cdot \gamma$

$G$, Skjuvmodul $[\text{GPa}]$:

$G=\frac{E}{2(1+v)}$

$E$, elasticitetsmodul $[\text{GPa}]$

$v$, tvärkontraktionstalet

Dimensionering

${\sigma }_{normal}<{\sigma }_s$ (sträckgräns från dragprovet)

Almänt belastad kropp

För snitt i planet med $x$ som normal beskrivs spänningarna i en punkt av:

$\tilde{s}({\tilde{e}}_x)=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\end{array}\right]$

Spänningen i en punkt

$\tilde{S}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{xz}& {\tau }_{yz}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Spänning för snitt med normal $\tilde{n}$

$\tilde{s}={\tilde{S}}^T\tilde{n}=\tilde{S}\tilde{n}$

$\sigma ={\tilde{n}}^T\tilde{s}={\tilde{n}}^T{\tilde{S}}^T\tilde{n}$

$\tau =\sqrt{|\tilde{s}{|}^2-{\sigma }^2}=\sqrt{s_x^2+s_y^2+s_z^2-{\sigma }^2}$

Huvudspänningar

Egenvärden

Huvudspänningarna ges av rötterna ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ och ${\sigma }_3$ ur

$|\tilde{S}-\sigma \cdot \tilde{I}|=0$

Exempel

Givet spänningsmatrisen $\tilde{S}$ beräkna huvudspänningar och huvudspänningsriktningar

$\tilde{S}=\left[\begin{array}{ccc}0& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Egenvärden ger:

$\det (\tilde{S}-\sigma \tilde{I})=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-\sigma & {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& -\sigma & 0\\ 0& 0& -\sigma \end{array}\right|=\sigma ({\tau }_{xy}^2-{\sigma }^2)$

Konvention ${\sigma }_1>{\sigma }_2>{\sigma }_3$ ger:

$\{\begin{array}{l}{\sigma }_1={\tau }_{xy}\\ {\sigma }_2=0\\ {\sigma }_3=-{\tau }_{xy}\end{array}$

Huvudspänningsriktningar:

${\sigma }_1={\tau }_{xy}$:

$$\left[\begin{array}{ccc}-{\tau }_{xy}& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& -{\tau }_{xy}& 0\\ 0& 0& -{\tau }_{xy}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=0$$ $$\begin{array}{rl}-{\tau }_{xy}\cdot n_1+{\tau }_{xy}\cdot n_2=0& \Rightarrow n_1=n_2\\ -{\tau }_{xy}\cdot n_3=0& \Rightarrow n_3=0\end{array}\}\Rightarrow \tilde{n}=\left(\begin{array}{c}k\\ k\\ 0\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right)$$

${\sigma }_2=0$:

$$\left[\begin{array}{ccc}0& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=0$$ $$\begin{array}{rl}{\tau }_{xy}\cdot n_1=0& \Rightarrow n_1=0\\ {\tau }_{xy}\cdot n_2=0& \Rightarrow n_2=0\\ 0\cdot n_3=0& \Rightarrow \text{va¨lj }{n}_3=1\end{array}\}\Rightarrow \tilde{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

${\sigma }_3=-{\tau }_{xy}$:

$$\left[\begin{array}{ccc}{\tau }_{xy}& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{xy}& {\tau }_{xy}& 0\\ 0& 0& {\tau }_{xy}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=0$$ $$\begin{array}{rl}{\tau }_{xy}\cdot n_1+{\tau }_{xy}\cdot n_2=0& \Rightarrow n_1=-n_2\\ {\tau }_{xy}\cdot n_3=0& \Rightarrow n_3=0\end{array}\}\Rightarrow \tilde{n}=\left(\begin{array}{c}k\\ -k\\ 0\end{array}\right)$$ $$|\tilde{n}|=1\Rightarrow \tilde{n}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right)$$