F17 Trogonometriska funktioners derivator

Trogonometriska funktioners derivator

Vanliga gränsvärden

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$
($\sin \theta \approx \theta$ för små $\theta$.)
$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{t}=0$

Derivator

Sinus

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Bevis

$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$
$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$
$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}$
$=\sin x\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$
$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Cosinus

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

Bevis

$\frac{d}{dx}\cos x=\frac{d}{dx}\sin (\frac{\pi }{2}-x)$
$=\cos (\frac{\pi }{2}-x)\cdot (-1)$
$=-\cos (\frac{\pi }{2}-x)=-\sin x$

Andra

(kolla canvas föreläsningsanteckningar för bevis)

$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\cot x=\frac{d}{dx}(\frac{1}{\tan x})=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{\cos x})=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{\sin x})=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}$

Övningsexempel gränsvärden

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x{)}^2}{\sin (x^2)}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{x^2}{\sin x^2}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}{)}^2\cdot \frac{1}{\frac{\sin x^2}{x^2}}=1^2\cdot \frac{1}{1}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+4x}-1}{\sqrt{4-x}-2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+4x}-1)(\sqrt{1+4x}+1)(\sqrt{4+x}+2)}{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{1+4x}+1)(\sqrt{4+x}+2)}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{((1+4x)-1^2)(\sqrt{4+x}+2)}{((4+x)-2^2)(\sqrt{1+4x}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x(\sqrt{4+x}+2)}{x(\sqrt{4+x}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4(\sqrt{4+x}+2)}{(\sqrt{4+x}+1)}$
$=\frac{4(\sqrt{4+0}+2)}{\sqrt{1}+1}=\frac{16}{2}=8$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4^x-1}{4^x-2^x}=[\frac{0}{0}]=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2^x{)}^2-1}{(2^x{)}^2-2^x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2^x-1)(2^x+1)}{2^x(2^x-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x+1}{2^x}$
$=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan 4x}{7x}=[\frac{0}{0}]$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin 4x}{\cos 4x}}{7x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x\cdot 4x}{4x\cdot 7x\cdot \cos 4x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{\cos 4x}$ $=1\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{1}=\frac{4}{7}$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=[\frac{0}{0}]$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}$
($\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}{)}^2=1^2=1$, $\cos 0=1$)
$=1\cdot \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan 7x+x\cos 5x+x^2}{\sin 10x+5x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin 7x}{\cos 7x}+x\cos 5x+x^2}{\sin 10x+5x}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin 7x}{x}\cdot \frac{1}{\cos 7x}+\cos 5x+x}{\frac{\sin 10x}{x}+5}$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin 7x}{7}\cdot \frac{7}{\cos 7x}+\cos 5x+x}{\frac{\sin 10x}{10x}\cdot 10+5}$
($\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x}{7x}=1$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 10x}{10x}=1$, $\cos 7\cdot 0=1$, $\cos 5\cdot 0=1$ )
$\frac{1\cdot \frac{7}{1}+1+0}{1\cdot 10+5}=\frac{8}{15}$