F31

Extrem värden

Definition

En funktion $f$ har globalt maximum $f(x_0)$ i punkten $x_0\in D(f)$ om $f(x)\le f(x_0)$ för alla $x\in D(f)$
En funktion $f$ har globalt minimum $f(x_0)$ i punkten $x_0\in D(f)$ om $f(x)\ge f(x_0)$ för alla $x\in D(f)$

Sats (Max/Min; kap 1.4)

En kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall antar globalt maximum och globalt minimum.

Definition

Funktionen $f$ har lokalt maximum i punkten $x_0\in D(f)$ om det finns ett tal $h>0$ så att $f(x)\le f(x_0)$ när $|x-x_0|<h$ och $x\in D(f)$

Sats

Om en funktion $f$ är definerad på ett intervall $I$ och har lokalt extremväde i punkten $x=x_0$ så måste $x_0$ vara antingen
a) en singulär punkt ($f^{\prime }(x)$ existerar ej)
b) en kritisk punkt ($f^{\prime }(x)=0$)
c) en endpunkt till intervallet $I$

Exempel

Global extrem för $f(x)=x^2-1$

$f^{\prime }(x)=2x$

a) inga singulära punkter
b) kritisk punkt i $x=0$ ($f^{\prime }(0)=0$, $f(0)=-1$)
c) ändpunkt i $x=-2$ och $x=3$ ($f(-2)=3$, $f(3)=8$)