1.2 Mängdlära

Mängder

Grund

U - Grundmängd
A - Samling av element
x - element i A
$x\in A$
y - element inte i A
$y\notin A$

Om alla element i A tillhör B är A en delmängd av B
$A\subseteq B$
Om A och B inte kan vara samma (Äkta delmängd)
$A\subset B$

Komplementet till A är alla element från U som inte tillhör A
$\complement A$ eller $A^{\complement }$ eller $\overline{A}$
$A^{\complement }=U\setminus A$

A och B till sammans är A union B (alla element som finns i A och/eller B)
$A\cup B$

A snitt B betyder de element som finns i både A och i B
$A\cap B$

A minus B betyder de element som finns i A men inte i B
$A\setminus B$

Tomma mängden är en mängd som saknar element
$\varnothing$

Om $A\cap B=\varnothing$ säger man att de är disjunkta

Absolutbeloppstecken används för att visa antal element
$A=\{1,2,3\}$
$|A|=3$

Följande gäller:

• $A\cup A^{\complement }=U$
• $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
• $A\subseteq B\iff A\cap B=A$ (Alla elemt i A finns i B)

Exempel

Deffinitioner

$A=\{1,2,5\}$
$B=\{1,3,5,7,8\}$
$C=\{1,2,4,6\}$

Union

$A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}$
$A\cup B=\{1,2,4,5,6\}$
$C\cup A=\{1,2,4,5,6\}$
$A\cup B\cup C=B\cup C$

Snitt

$A\cap B=\{1,5\}$
$B\cap C=\{1\}$
$A\cap C=\{1,2\}$
$A\cap B\cap C=\{1\}$

Minus

$A\setminus B=\{2\}$
$B\setminus A=\{3,7,8\}$

Talmängder:

$\mathbb{N}$ - Naturliga tal (positiva heltal men inte noll)
ex. 1, 2, 3
$\mathbb{Z}$ - Heltalen (positiva och negativa)
ex. -2, -1, 0, 1, 2
$\mathbb{Q}$ - Rationella tal (tal som kan skrivas som bråk med heltal)
ex. $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$
$\mathbb{R}$ - Reella tal (tallinjen $-\infty \to \infty$)
ex. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$
$\mathbb{C}$ - Komplexa tal
$\mathbb{C}=\{a+ib:a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R},i^2=-1\}$

Rationella tal

Tal som kan skrivas som en kvot

Rationella tal har ändligt antal decimaler eller periodisk decimalutveckling
ex. $0,25=\frac{1}{4}$, $0,\mathrm{3333...}=\frac{1}{3}$

Metod för bestämning av bråkform

ex.
$0,\mathrm{333...}$ som bråk, dvs $\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}$

sätt
$x=0,\mathrm{333...}$
$10x=3,\mathrm{333..}$
$10x-x=3,\mathrm{333..}-0,\mathrm{333..}$
$9x=3$
$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

ex.
$x=0,\mathrm{142857142857..}$
$10^{6}x=142857,\mathrm{142857..}$
$999999x=142857$
$x=\frac{142857}{999999}=\frac{1}{7}$