F18 Medelvärdessatsen

Medelvärdessatsen

Sats

Antag

1. $f$ är kontinuerlig på intervallet $[a,b]$, där $[a,b]$ är begränsat och slutet.
2. $f$ är deriverbar på det öppna intervallet (a, b)

Då finns det en punkt $c\in (a,b)$ så att $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$ (medellutning)

Ej fungerande exempel

$f$ är diskontuerlig i $x=b$

$f$ är diskontinuerlig i $p\in (a,b)$

$f$ är inte deriverbar

Räkneexempel

Visa med hjälp av medelvärdessatsen på $f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}$ på $[0,t]$ att $\cos t>1-\frac{t^2}{2}$

Medelvärdessatsen ger:
$\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=f^{\prime }(c)$ för något $c\in (0,t)$
$f^{\prime }(x)=-\sin x+x$
$\frac{\cos t+\frac{t^2}{2}-(\cos 0+\frac{0^2}{2})}{t-0}=-\sin c+c$
$\frac{\cos t+\frac{t^2}{2}-1}{t}=c-\sin c$ för något $c\in (0,t)$
vi har $-x<\sin x<x$ för något $x>0$
$0<x-\sin x$
Det ger $c-\sin c=k>0$ (Högerled positivt)
vilket medför:
$\frac{\cos t+\frac{t^2}{2}-1}{t}=k>0$
multiplikation med $t$ $(t>0)$
$\cos t-\frac{t^2}{2}-1>0$
$\iff$
$\cos t>1-\frac{t^2}{2}$ för $t>0$ (v.s.v.)

Anmärkning
$\cos t$ och $1-\frac{t^2}{2}$ är jämna funktioner
$\cos -t=\cos t$
$1-\frac{-t^2}{2}=1-\frac{t^2}{2}$
Därför gäller olikheten även för negativa $t$

---

Växande och avtagande funktioner

Definition

Antag att en funktion $f$ är definerad på ett intervall $I$ och att $x_1,x_2\in I$
a. Om $f(x_2)>f(x_1)$ när $x_2>x_1$ så är $f$ STRÄNGT VÄXANDE på $I$.
b. Om $f(x_2)<f(x_1)$ när $x_2>x_1$ så är $f$ STRÄNGT AVTAGANDE på $I$.
c. Om $f(x_2)\ge f(x_1)$ när $x_2>x_1$ så är $f$ VÄXANDE på $I$. (ibland sägs ICKE AVTAGANDE)
d. Om $f(x_2)\le f(x_1)$ när $x_2>x_1$ så är $f$ AVTAGANDE på $I$. (ibland sägs ICKE VÄXANDE)

Sats

Låt $J$ vara ett öppet intervall och $I$ ett intervall som inehåller alla punkter i $J$ samt eventuellt en eller bägge endpunkterna till $J$.
Antag:

1. $f$ är kontinuerlig på $I$
2. $f^{\prime }$ existerar på $J$

då gäller:
a. Om $f^{\prime }(x)>0$ för alla $x\in J$ så är $f$ strängt växande på $I$.
b. Om $f^{\prime }(x)<0$ för alla $x\in J$ sä är $f$ strängt avtagande på $I$.
c. Om $f^{\prime }(x)\ge 0$ för alla $x\in J$ så är $f$ växande på $I$.
d. Om $f^{\prime }(x)\le 0$ för alla $x\in J$ så är $f$ avtagande på $I$.

Sats

Om $f$ är kontinuerlig på ett intervall $I$ och $f^{\prime }(x)=0$ i varje inre punkt till $I$ så är $f(x)=k$ (konstant) på $I$.

Bevis

Låt $x_0\in I$ och $x$ en annan punkt $x\in I$
Låt $k=f(x_0)$

Medelvärdessatsen ger då
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(c)=0$ för någon inre punkt $c$
$\iff$
$f(x)-f(x_0)=0$ för all $x\in I,x\ne x_0$
dvs $f(x)=f(x_0)=k$
$\forall x\in I$

Exempel

När är funktionen $f(x)=x^4+4x^3-8x^2+7$ växande respektive avtagande?

$f^{\prime }(x)=4x^3+12x^2-16x$
$=4x(x^2+3x-4)$
$x=1$ är ett nollställe till $x^2+3x-4$
polynomdivision ger $(x-1)(x+4)$
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+4)$

svar:
$f$ är strängt växande på intervallen $[-4,0]$ och $[1,\infty )$
och strängt avtagande på intervallen $(-\infty ,-4]$ och $[0,1]$

Sats (Kritisk punkt)

Om $f$ är definerad på ett öppet intervall $(a,b)$ och antar ett maximum (eller minimum) i en punkt $c\in (a,b)$ och om $f^{\prime }(c)$ existerar så är $f^{\prime }(x)=0$.

Bevis

Antag att $f$ har maximum i $x=c$
Då är $f(x)-f(c)\le 0$ om $x\in (a,b)$

Det ger $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0$ om $x\in (c,b)$ (stigande före maxima)
dvs $f^{\prime }(c)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0$

och för $x\in (a,c)$ får vi $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0$ (fallande efter maxima)
dvs $f^{\prime }(c)=\underset{x\to c^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0$

$f^{\prime }(c)$ existerar ger att $f^{\prime }(c)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\underset{x\to c^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0$
v.s.v.