2.1 Summor och Produkter

Summor och Produkter

Summa

Aritmetisk summa

En aritmetisk summa är en summa där skillnaden mellan efterföljande termer är konstant.
$s_n=a_1+a_2+a_3+..+a_{n-1}+a_n$
$s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ där $a_{k+1}-a_k=C$, Konstant
$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Geometrisk summa

Geometrisk summa är en summa där kvoten mellan efterföljande termer är konstant

Exempel:

$s_{10}=1+\frac{1}{2}+{\frac{1}{2}}^2+{\frac{1}{2}}^3+..+{\frac{1}{2}}^9+{\frac{1}{2}}^{10}$
$\frac{1}{2}{s}_{10}=\frac{1}{2}+{\frac{1}{2}}^2+{\frac{1}{2}}^3+{\frac{1}{2}}^4+..+{\frac{1}{2}}^{10}+{\frac{1}{2}}^{11}$ $\frac{1}{2}{s}_{10}-s_{10}={\frac{1}{2}}^{11}-1$
$(\frac{1}{2}-1)s_{10}={\frac{1}{2}}^{11}-1$
$s_{10}=\frac{{\frac{1}{2}}^{11}-1}{\frac{1}{2}-1}$
$s_{10}=\frac{{\frac{1}{2}}^{11}-1}{-\frac{1}{2}}$ $s_{10}=2({\frac{1}{2}}^{11}-1)$

Generellt:

$s_n=a_0+a_1+..+a_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$
där $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r,k=0,1,2,..,n-1,r$ är konstant
$\frac{a_1}{a_0}=r\iff a_1=a_{0}r$
$\frac{a_2}{a_1}=r\iff a_2=a_{1}r=a_0{r}^2$
$\frac{a_3}{a_2}=r\iff a_3=a_0{r}^3$
$s_n=a_0+a_{0}r+a_0{r}^2+a_0^3+..+a_0{r}^n$
$s_n=a_0\sum _{k=0}^n{r}^k$

Vi har två fall: 1.

$r=1$
$s_n=a_0\sum _{k=0}^n{1}^k=a_0(1+1+1+..+1)=a_0(n+1)$

$r\ne 1$
$s_n=a_0(1+r+r^2+r^3+r^4+..+r^n)$
$r{s}_n=a_0(r+r^2+r^3+r^4+..+r^n+r^n+1)$
$r{s}_n-s_n=a_0(r^{n+1}-1)$
$(r-1)s_n=a_0(r^{n+1}-1)$
$s_n=a_0\frac{r^{n+1}-1}{r-1}=a_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

Exempel

$1+2+3+4+5={\sum }_{k=1}^{5}k$

$s=1+4+9+16+25$
$s=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$
$s=\sum _{k=1}^5{k}^2$

$s=7+9+11+13+15+17$
$s=(2\ast 3+1)+(2\ast 4+1)+(2\ast 5+1)+(2\ast 6+1)+(2\ast 7+1)+(2\ast 8+1)$
$s=\sum _{k=3}^8(2k+1)$

$s=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$
$s={\frac{1}{2}}^0+{\frac{1}{2}}^1+{\frac{1}{2}}^2+{\frac{1}{2}}^3+{\frac{1}{2}}^4+{\frac{1}{2}}^5+{\frac{1}{2}}^6$
$s=\sum _{k=0}^6{\frac{1}{2}}^k$

$s=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$
$s=(-1{)}^2\ast 1+(-1{)}^3\ast 2+(-1{)}^4\ast 3+(-1{)}^5\ast 4+(-1{)}^6\ast 5+(-1{)}^7\ast 6+(-1{)}^8\ast 7+(-1{)}^9\ast 8+(-1{)}^{10}\ast 9+(-1{)}^{11}\ast 10$
$s=\sum _{k=1}^{10}(-1{)}^{k+1}k$

Bestäm summan av de 100 första heltalen

$s=1+2+3+..+99+100$
$s=\sum _{k=1}^{100}k$
$s=100+99+98+..+2+1$
$2s=101+101+101+..+101+101$
$2s=100\ast 101$
$s=\frac{100\ast 101}{2}$
$s=5050$
$s_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Produkt

$n!=1\ast 2\ast 3\ast ..\ast (n-1)\ast (n)$
$\prod _{k=1}^{n}k$