3.2 Polynom mm.

Polynom

Definition

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+..+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0$
$n\in \mathbb{N},a_n,a_{n-1},..a_2,a_1,a_0$
där $n$ är polynomets grad

Rationell funktion

Låt $P(x)$ och $Q(x)$ vara två polynom, $Q$ av grad $\ge 1$
Funktionen $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$
$D(f)\forall x$ så att $Q(x)\ne 0$

Polynomdivision

ex:
$f(x)=\frac{3x^4+2x^2-x+5}{x+1}$
$f(x)=3x^3-3x^2+5x-6+\frac{11}{x+1}$

Algebrans fundamentalsats

Rot = lösning då $P(x)=0$

$P(x)$ - polynom av grad $n\ge 1$ har en rot. (ev. komplex)

ex:

$x^2=4$
$x=\pm 2$

$x^2=-4$
$x=\pm 2i$

2. Faktorteoremet
   Talet $r$ är ett nollställe till polynomet $P$ om och endast om $x-r$ är en faktor i $P(x)$

$(1)+(2)\Rightarrow$ ett $n$:te grads polynom har högst n stycken reella rötter

Exempel

Faktorisera $P(x)=3x^4+2x^2-x-6$

gissa nollställen $P(-1)=3(-1{)}^4+2(-1{)}^2-(-1)-6=0$
$(x-(-1))$ är en faktor
polynomdivision ger:
$P(x)=(x+1)(3x^3-3x^2+5x-6)$

Några faktoriseringar

1. $a{x}^2+bx=x(ax+b)$
2. $(x^2-a^2)=(x+a)(x-a)$
3. $(x^3-a^3)=(x-a)(x^2+ax+a^2)$
4. $(x^3+a^3)=(x+a)(x^2-ax+a^2)$
5. $(x^n-a^n)=(x-a)(x^{n-1}+a{x}^{n-2}+..+a^{n-2}x+a^{n-1}),n\in \mathbb{N}$
6. $(x^n+a^n)=(x+a)(x^{n-1}-a{x}^{n-2}+..-a^{n-2}x+a^{n-1}),n\in \mathbb{N}$
7. $x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)$