F13 Kontinuitet

Kontinuitet

Definition

Kontinuitet

Vi säger att en funktion $f$ är kontinuerlig i en inre punkt $c$ i sin definitionsmängd om $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$
(gränsvärde=funktionsvärde)

$f(x)=\frac{1}{x}$ är kontinuerlig eftersom vi inte får använda punkten $c=0$ då den inte ligger i definitionsmängden.

Diskontinuitet

Om gränsvärdet $\underset{x\to c}{\lim }f(x)$ antingen inte existerar eller ej lika med funktionsvärdet $f(c)$ så säger vi att $f$ är diskontinuerlig i $x=c$.

Högerkontinuitet

Vi säger att $f$ är högerkontinuerlig i $x=c$ om $\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=f(c)$.

Vänsterkontinuitet

Vi säger att $f$ är vänsterkontinuerlig i $x=c$ om $\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=f(c)$.

Teorem

$f$ är kontinuerlig i $f=c\iff$ $f$ är både höger och vänsterkontinuerlig i $x=c$.

Exempel

Kontinuerliga funktioner

1. Alla polynom ex. $P(x)=2x^2+x-2$
2. Alla rationella funktioner ex. $\frac{x^2-2}{3-x}$
3. Alla rationella potenser $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$
4. Trigonometriska funktioner ex. $\cos x$
5. Absolutbeloppet av $x$
6. Om $f$ och $g$ är definerade på ett intervall innehållande $c$ och bägge är kontinuerliga i $x=c$ så är även: $f+g$, $f-g$, $f\ast g$, $k\ast f,k\in \mathbb{R}$ och $\frac{f}{g},g(c)\ne 0$ kontinuerliga i $x=c$.