F21 Implicit derivering, primitiv funktion och rörelse

Övn
Finns $y^{\prime }$ om $y^n=x^m$ och $m,n\in \mathbb{Z}$

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$
$\frac{d}{dx}(y^n)=\frac{d}{dx}(x^m)$
$\frac{d}{dy}(y^n)\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^m)$
$n{y}^{(n-1)}\cdot y^{\prime }=m{x}^{(m-1)}$
$y^{\prime }=\frac{m{x}^{(m-1})}{n{y}^{(n-1)}}$
($y^{(n-1)}=y^n\cdot y^{-1}=x^m\cdot y^{-1}=x^m\cdot x^{-\frac{m}{n}}$) $y^{\prime }=\frac{m}{n}{x}^{(m-1)}\cdot x^{-m}\cdot x^{\frac{m}{n}}$
$y^{\prime }=\frac{m}{n}{x}^{(}\frac{m}{n}-1)$

Primitiv funktion

Definition

En primitiv funktion till en faktor $f$ på ett intervall $I$ är en annan funktion $F$ sådan att $F^{\prime }(x)=f(x)$ för alla $x\in I$

Exempel

$F(x)=x$ primitiv till $f(x)=1$

$F(x)=x+1$ också primitiv till $f(x)=1$

Anmärkning: $F(x)=x+C$ beskriver alla primitiva funktioner till $f(x)=1$

Ge alla primitiva funktioner till I.

$f(x)=x$, $x\in \mathbb{R}$
$F(x)=\frac{x^2}{2}+C$

II.

$g(x)=x^{-2}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$
$G(x)=x^{-1}+c=\frac{1}{x}+C$

III.

$h(x)=\cos (2x)$, $x\in \mathbb{R}$
$H(x)=\frac{1}{2}\sin (2x)+C$

$\int f(x)dx=F(x)+C$ Obestämda integralen till $f$ = alla primitiva funktioner till $f$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$, $C=$ konstant
$\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$, $C=$ konstant

Antag att $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=8x^3+4x^{-3}\\ f(1)=1\end{array}$
bestäm $f(x)$

$f(x)=\int (8x^3+4x^{-3})dx$
$=2x^4-2x^2+C$, $C=$ konstant
$f(1)=2\cdot 1^4-2\cdot 1^{-2}+C=1$
$C=1-2+2=1$
$f(x)=2x^4-2x^{-2}+1$

Rörelse och hastighet

Antag $x(t)$ beskriver positionen för ett objekt som rör sig längs x-axeln

Medelhastigheten över tidsintervallet $[t,t+h]$ ges av $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ dvs
$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t}=\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$
Den momentana hastigheten ges av gränsvärdet $v(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x(t+h)-x(t)}{h}=x^{\prime }(t)$

Hastigheten har riktning (framåt/bakåt (+/-))
Farten ges av $|v(t)|=|x^{\prime }(t)|$

Den momentana ändringen av hastigheten kallas acceleration
$a(t)=\frac{dv}{dt}=v^{\prime }(t)=\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=x^{\prime \prime }(t)$
om $a(t)>0$ så ökar hastigheten
om $a(t)<0$ så minskar hastigheten (retardation)

Newtons 2:a lag $F=ma$
$a=\frac{F}{m}$

Antag $F=$ konstant kraft och en kropp har massan $m$
Accelerationen blir då konstant $a=\frac{F}{m}$
Hastigheten blir då $v(t)=a\cdot t+C_1$ där $C_1$ är utgångshastighet vid $v(0)$ ($=v_0$)
$v(t)=a\cdot t+v_0$ Läget (positionen) blir $x(t)=\frac{a{t}^2}{2}+v_{0}t+C_2$ där $x(0)=x_0=C_2$
$x(t)=\frac{a{t}^2}{2}+v_{0}t+x_0$

Fritt fall $y$ är positions variabel. $F=-m\cdot g$
$a(t)=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-g$
$v(t)=\frac{dy}{dt}=\int -gdt=-gt+v_0$
$y(t)=\int v(t)dt=\frac{-g{t}^2}{2}+v_{0}t+y_0$

En boll kastas nedåt från toppen av ett $100m$ högt stup med farten $5m/s$
antag $g=10m/s^2$

1. ställ upp ett uttryck för bollens höjd $y(t)$ över marken vid tiden $t$

2. hur lång tid tar det innan bollen når marken

3. bestäm bollens medelhastighet

4. vid vilken tidpunkt når bollen sin medelhastighet

5. när har bollen färdats halva sträckan

$F=-mg$
$v_0=-5m/s^2$ och $y_0=100m$
$y(t)=\frac{-g{t}^2}{2}+v_{0}t+y_0$
$y(t)=-5t^2-5t+100$

bollen når marken då $y(t)=0$ dvs när
$-5t^2-5t+100=0$
$t^2+t-20=0$
$t=4$ eller ($t=-5$)

medelhastigheten $\overline{v}=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{0-100}{4-0}=-25m/s$

$v(t)=\frac{d}{dt}(y(t))=-10t-5$
$v(t)=-25$
$-10t-5=-25$
$\iff$
$t=2s$

$y(t)=50$
$-5t^2-5t+100=50$
$t^2+t-10=0$
$(t+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{4}-10=0$
$(t+\frac{1}{2}{)}^2=\frac{41}{4}$
$t=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{41}}{2}\approx 2.7s$