F27

ex: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=[0^{\infty }]=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$
$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\cdot \ln x}=[e^{-\infty }]=0$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln (1+e^x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln (e^x(\frac{1}{e^x}+1))}{x}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln (e^x)+\ln (\frac{1}{e^x}+1)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{x}+\frac{\ln (\frac{1}{e^x}+1)}{x}$
$=1+\frac{0}{\infty }=1$

Exponentiell tillväxt och avtagande

Begynnelsevärdesproblemet
$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=ky\\ y(0)=y_0\end{array}$
har lösningen $y(t)=y_0{e}^{kt}$
$\frac{d}{dy}y(t)=y_0{e}^{kt}\cdot k=ky(t)$

Tillväxt om $k>0$ (strängt växande)
Konstant fördubblingstid (T)
$y(t)=y_0{e}^{kt}$
$y(T)=2y_0=y_0{e}^{kT}$
$2=e^{kT}$
$\ln 2=kT$
$T=\frac{\ln 2}{k}$

Avtagande om $k<0$ (strängt avtagande)
Konstant halveringstid ($T_{1/2}$)
$y(t)=y_0{e}^{kt}$
$y(T)=\frac{1}{2}{y}_0=y_0{e}^{k{T}_{1/2}}$
$\frac{1}{2}=e^{k{T}_{1/2}}$
$\ln \frac{1}{2}=k{T}_{1/2}$
$-\ln 2=k{T}_{1/2}$
$T_{1/2}=-\frac{\ln 2}{k}$

Exempel

ex: Bakterietillväxt Kulturen växer proportionellt mot befintlig mängd om det finns 1000 st bakterier från början och de fördubblas på en timme. Hur många finns det efter ytterligare 1,5 timme?

$y(t)$ betäcknar antal backterier vid tiden $t$ i timmar.
$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=ky\\ y(0)=y_0\end{array}$
$y(t)=y_0{e}^{kt}=1000e^{kt}$
$T=\frac{\ln 2}{k}=1$ timme
$\Rightarrow k=\ln 2$

$y(t)=1000e^{\ln 2\cdot t}$
$y(t)=1000(e^{\ln 2}{)}^t=1000\cdot 2^t$
$t=2.5=\frac{5}{2}$ timmar
$y(\frac{5}{2})=1000\cdot 2^{\frac{5}{2}}=4000\cdot \sqrt{2}$
$\approx 5657$ st

ex: Radioaktivt sönderfall $k<0$
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=ky\\ y(o)=y_0\end{array}$
Om $25\%$ sönderfaller på 15 år vad är halveringstiden?

$y(t)=y_0{e}^{kt}$
$y(15)=\frac{3}{4}{y}_0=y_0{e}^{k\cdot 15}$
$\frac{3}{4}=e^{k\cdot 15}$
$\ln (\frac{3}{4})=15k$
$k=\frac{\ln 3-\ln 4}{15}$
$T_{1/2}=-\frac{\ln 2}{k}=\frac{15\ln 2}{\ln 4-\ln 3}\approx 36$ år

Newtons avskylningslag

$T(t)$ är temperatur av ett objekt vid tiden t
$T_{\infty }$ är omgivningens temperatur
$\{\begin{array}{l}\frac{dT}{dt}=k(T(t)-T_{\infty })\\ T(0)=T_0\end{array}$

Variabelbyte
låt $y(t)=T(t)-T_{\infty }$
$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=ky\\ y(0)=T_0-T_{\infty }=y_0\end{array}$
$y(t)=(T_0-T_{\infty })e^{kt}$
som ger
$T(t)=y(t)+T_{\infty }=T_{\infty }+(T_0-T_{\infty })e^{kt}$