F14 Derivata

Derivata

Om $f(x)=x^n$ så är $f^{\prime }(x)=n{x}^{(n-1)}$.

Vi visar för $n\in \mathbb{N}$.

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$ sätt $a=x+h$, $b=x$, $a-b=h$

Notera $(a^n-b^n)=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+..+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$

$\underset{h\to 0}{\lim }h\frac{(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+..+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}}{h}$
$\underset{h\to 0}{\lim }(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+..+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}$
varje term går mot $x^{n-1}$ vilket ger
$\underset{h\to 0}{\lim }(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+..+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}=n{x}^{n-1}$ v.s.v.