F12.2 Oegentliga gränsvärden

Oegentliga gränsvärden

Två typer:

1. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$
2. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$

Exempel

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
$y=0$ är en asymptot (horizontell)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+3000}{x^3+2}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3(\frac{1}{x}+\frac{3000}{x^3})}{x^3(1+\frac{2}{x^3})}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{}+\frac{3000}{x^3}}{1+\frac{2}{x^3}}=\frac{0}{1}$

Strategi:
Bryt ut det som växer snabbast i nämnaren.

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-2x})=[\infty -\infty ]$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-2x})(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x})}{(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x})}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x^2+2x)-(x^2-2x)}{(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x})}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4x}{\sqrt{x^2}(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}})}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4}{(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}})}$
$=\frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2$

Typ 2 Oegentliga gränsvärden.

I. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}$
Både höger och vänster går mot $+\infty$
$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=\infty$

II. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$
$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$
Olika gränsvärden
Gränsvärdet $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$ existerar inte.

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{3-x}$
Odefinerad för $x=3$ (vertikal asymptot)
$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=-\infty$
$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{3-x}=\infty$
Gränsvärdet existerar inte då vi får olika höger och vänster gränsvärden.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^5+3x^3-2}{x^4-4}$
$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^4(2x+\frac{3}{x}-\frac{2}{x^4})}{x^4(1-\frac{4}{x^4})}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{1}=\infty$
$y=2x$ är sned asymptot.

alt:
polynomdivision ger $\frac{2x^5+3x^3-2}{x^4-4}=2x+\frac{3x^3+8x-2}{x^4-4}$
$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^5+3x^3-2}{x^4-4}=\underset{x\to \infty }{\lim }2x+\frac{3x^3+8x-2}{x^4-4}$ (sista bråk går mot 0)

Övning

Betrakta den rationella funktionen $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-6}$

1. Ange deffinitionsmängd, $D(f)$.

2. Bestäm gränsvärdena för $f$ när $x$ närmar sig nämnarens nollställen.

3. Kan vi definera en funktion som i $x=3$ så $f(3)=\frac{1}{5}$

Nämnarens nollställen ($x^2-x-6=0$) Kvadratkompletering
$x^2-2\frac{1}{2}x+{\frac{1}{2}}^2-{\frac{1}{2}}^2-6=0$
$(x-\frac{1}{2}{)}^2={\frac{1}{2}}^2+6$
$(x-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}+\frac{24}{4}=\frac{25}{4}$
$(x-\frac{1}{2})=\pm \frac{5}{2}$
$x_1=3$
$x_2=-2$

$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x-3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-2)}{(x+2)}=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$
$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{(x-2)}{(x+2)}$ ej deffinerad då höger och vänstergränsvärden är olika.

svar:
$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\frac{1}{5}$
$\underset{x\to -2}{\lim }f(x)$ Existerar ej.

t.ex.
$g(x)=\frac{x-2}{x+2},x\ne -2$
$g(3)=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$

eller:
$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-6}& x\ne -2,x\ne 3\\ \frac{1}{5}& x=3\end{array}$