F12.1 Gränsvärden

Vänster och högergränsvärden

Om $f(x)$ är definerad på något intervall $(a,b),a<b$ och vi kan få $f(x)$ så nära vi vill värdet $L$ genom att $x,x<b$ tillräckligt nära $b$ så säger vi att $f$ vänstergränsvärdet $L$ i $x=b$.
Vi skriver $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=L$

$f(x)$ har högergränsvärdet $M$ om $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=M$.

Vi har $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=N\iff \underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=N$

Exempel

a. $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=1$
$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g(x)=0$
$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)$ existerar ej

b. $\underset{x\to 2}{\lim }g(x)$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g(x)=1$
$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g(x)=1$
$\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=1$

c. $\underset{x\to 3}{\lim }g(x)$

$\underset{x\to 3}{\lim }g(x)=0$
$[g(3)=1]$
$g$ ej kontinuerlig i $x=3$

Räkneregler

Om $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ , ${\lim }_{x\to a}g(x)=M$ och $k\in \mathbb{R}$

1. $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=L+M$
2. $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-g(x))=L-M$
3. $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\ast g(x))=L\ast M$
4. $\underset{x\to a}{\lim }(k\ast f(x))=k\ast L$
5. $\underset{x\to a}{\lim }(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{L}{M}$ om $M\ne 0$

Instängningssatsen

Antag att $f(x)\le g(x)\le h(x)$ för alla $x$ i ett öppet intervall inehållande $a$ utom möjligen $x=a$

Om $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ och $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$ så medför det att $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$

Exempel

Beräkna $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})$

Notera att $-1\le \sin (\frac{1}{x})\le 1$
vilket ger $-x\le x\sin (\frac{1}{x})\le x$ $x>0$

Eftersom $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0$
och $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x)=0$

Så följer:
$0=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)\le \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})\le \underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x)=0$
dvs $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin (\frac{1}{x})=0$